Pinnacle … Повторное рассмотрение критерия Келли: оценка рисков

Про использование критерия Келли в качестве наиболее эффективной стратегии управления средствами, способной максимизировать коэффициент увеличения банкролла успешного игрока, было написано уже немало. В разделе «Ресурсы для размещения ставок» сайта Пиннакл содержится несколько статей, в которых рассказывается о том, как работает критерий Келли, для чего он применяется, какими преимуществами и недостатками он обладает. В этой же статье я рассматриваю простую оценку рисков, сопряженных с методом расчета ставок.

Что представляет собой критерий Келли?

Автор статей Пиннакл и математик Мальтийского университета, Доминик Кортис (Dominic Cortis), описывает критерий Келли как средство расчета объема собственных средств, используемых при размещении ставки на результат с коэффициентами, превышающими ожидаемые показатели, благодаря которому объем ваших собственных средств увеличивается в геометрической прогрессии.

Разработанный Джоном Келли во время работы в лабораториях AT&T’s Bell Labs в 1956 году критерий Келли представляет собой экономически обоснованный и математически точный способ расчета оптимального размера ставки, позволяющий максимизировать общее увеличение банкролла путем учета ожидаемой величины прибыли и связанных с ней рисков. Это можно выразить следующей простой формулой:

Под преимуществом мы будем понимать разницу, которая отличает (или, по крайней мере, вы считаете, что она отличает) ваши коэффициенты от коэффициентов самого букмекера. Например, если вы считаете, что действительные коэффициенты на выбранный исход равны 2,00 (вероятность успеха – 50 %), но букмекер предлагает вам 2,10, ваше преимущество будет составлять 2,10/2,00 = 1,05.

«Преимущество» – это просто еще один из способов описания математического ожидания. Коэффициенты в приведенном выше уравнении должны быть записаны в десятичной системе счисления. Таким образом, для этого примера ваш процент ставки по Келли будет равен 0,05 или же 5 %.

Критерий Келли является примером метода пропорционального расчета ставок, при котором размеры ставок пропорциональны размеру вашего существующего банкролла и растут или снижаются вместе с тем, как увеличивается или уменьшается ваш банкролл. Этим он разительно отличается от стратегии размещения ставок одинакового размера, при которой их величина фиксируется на предопределенном уровне.

Еще одной особенностью критерия Келли является тот факт, что он учитывает размер полученного вами преимущества и величину коэффициентов ставок. Чем больше ваше преимущество и (или) чем меньше коэффициенты ставок, тем большую величину будет составлять ставка, которой вы можете рискнуть.

Очевидно, что существуют некоторые проблемы с расчетом процента ставки по Келли при размещении ставок на более чем один исход или матч одновременно, но авторы Пиннакл публиковали статью и на этот счет. Впрочем, в оставшейся части этой статьи я буду рассматривать только упрощенную форму критерия Келли, подходящую для размещения единичных ставок в каждый отдельный момент времени.

Какие риски связаны с критерием Келли?

Критерий Келли представляет собой стратегию пропорционального управления средствами, и должно быть довольно очевидным, что при его применении технически невозможно разориться. Чем больше вы проигрываете, тем меньшего размера ставки вы размещаете, но теоретически вы никогда не достигнете нуля.

На практике же, разумеется, существует такой предел, при котором понесенные вами убытки будут считаться неприемлемыми. Исходя из этого, более правильным подходом, возможно, будет попытка учета разницы в размере вашего банкролла и того, насколько ваше желание рисковать способно заставить вас смириться с этими убытками.

Джо Пета (Joe Peta), приглашенный автор Пиннакл и биржевой трейдер, говорил ранее, что проблема использования критерия Келли заключается в том, что вне зависимости от расчета вашей ожидаемой окупаемости, отклонение будет абсурдно и «неинвестируемо» высоким. Он просил нас задуматься о том, что при коэффициентах, величина которых составляет 2,00, абстрактный игрок будет выигрывать всего лишь 52 % ставок. В соответствии с Келли рекомендуемый показатель ставки равен 4 %.

Рассмотрев серию из 250 ставок, Пета заявил, что есть более чем 10%-й шанс, что к концу серии ваш банкролл уменьшится на величину, превышающую 40 %. Прав ли он?

Похоже, что так оно и есть. Используя эти же параметры для серии из 10 000 ставок в имитационном моделировании по методу Монте-Карло, мы смогли увидеть, что 14 % банкроллов снизились до уровня в 60 % от начальной величины. Для стратегии размещения ставок с одинаковым размером этот показатель составлял всего 9 %; каждая из 250 ставок была ограничена четырьмя единицами (начальный размер банкролла составлял 100 единиц).

Приведенная ниже таблица наглядно показывает более широкое сравнение ставок по критерию Келли и ставок с фиксированным размером. Как я уже говорил в предыдущей статье, несмотря на то, что пропорциональное размещение ставок лучше подходит для оптимизации прибыльности (в этой имитационной модели средняя величина итоговых банкроллов для критерия Келли и для ставок с фиксированным размером составляла 149 и 140 единиц соответственно), при его использовании вам понадобится гораздо больше времени на восстановление после проигрышной серии ставок.

Большая пропорциональная доля убытков в итоговых банкроллах является следствием большего разнообразия банкроллов, привносимого методом пропорционального размещения ставок. Почти четыре из десяти этих симуляций завершились убытками для размещения ставок в соответствии с критерием Келли, и только одна из четырех моделей ставок с фиксированным размером показала такие же результаты.

Как изменятся риски, если величина нашего преимущества возрастет? Я провел симуляцию заново, на этот раз увеличив вероятность выигрыша для всех ставок «один к одному» до 54 %, процент ставок по Келли составил 8 %. Очень немногие игроки смогли бы достичь таких показателей в долгосрочной перспективе.

Разумеется, с удвоенным преимуществом или математическим ожиданием для каждой ставки предполагаемая прибыльность критерия Келли, сравниваемого со стратегией размещения фиксированных ставок, становится гораздо привлекательнее (средние итоговые банкроллы составляют 494 и 260 единиц соответственно). К сожалению, это объясняется во многом благодаря тому, что степень результативности игры подвергается значительно большей вариативности.

Средний или ожидаемый итоговый банкролл становится выше из-за влияния на него небольшого числа очень крупных банкроллов. Тем не менее, по сравнению со стратегией размещения фиксированных ставок мы имеем дело с гораздо большим числом банкроллов с незначительным ростом или даже с проигрышными банкроллами. Медианный размер итогового банкролла составляет всего 223 единицы. Вероятность потери 40 % вашего состояния после 250 размещенных ставок «один к одному» с равной 8 % величиной учитываемого критерием Келли преимущества все еще приводит нас к показателю в 14 %. Можно и не сомневаться, что Джо Пета рассказал бы нам о неприемлемости настолько рискованных вложений для любого уважающего себя финансового инвестора при всего 8%-й величине доходности.

Действительно ли нам известна величина нашего преимущества?

Используемые имитационные модели предполагают, что мы точно знаем собственные шансы на победу и, следственно, нам известно имеющееся у нас преимущество над коэффициентами букмекера. Тем не менее, как мог бы напомнить нам Джо Пета, моделирование ставок на исходы спортивных соревнований разительно отличается от подсчета карт в блэкджек.

В отличие от игр в казино, которые основаны на известных математических алгоритмах, «знания» действительных вероятностей в комплексных системах, подобных футбольному матчу, достичь невозможно. На моей странице в Твиттере недавно развернулась дискуссия о том, какие сложности для успешности ставок, размещенных в соответствии с критерием Келли, представляет отсутствие точных знаний об имеющемся у игрока преимуществе над коэффициентами букмекера. Я решил попытаться выяснить степень воздействия подобного отсутствия информации.

Не стоит и упоминать о том, что если вы считаете, будто 52 % ваших ставок «один к одному» принесут вам победу, но на самом деле выигрышными являются всего 49 % из них, в долгосрочной перспективе вы потеряете свои деньги, вне зависимости от того, какой из методов размещения ставок вы используете. Куда больший интерес для нас представляет другой вопрос: увеличит ли степень связанных с применением критерия Келли расхождений и рисков отсутствие точной информации об имеющемся для каждой отдельной ставки преимуществе?

Продолжительная история размещения ставок поможет вам в определении того, чему может равняться средняя величина вашего преимущества. Если вы получили доход в 1050 евро от 1000 ставок размером в 1 евро – вы можете обоснованно предполагать, что средняя величина вашего преимущества составляет 5 %. Другим способом оценки преимущества может стать сравнение с итоговыми коэффициентами рынка тех коэффициентов, с которых вы размещаете свои ставки.

Если вы делаете ставку с коэффициентом 2,10, а итоговая ставка Пиннакл равна 2,00, проводимый мною анализ данных говорит о том, что у вас есть 5%-е преимущество (без учета маржи на ставку). Но этот анализ был основан на исследовании большого количества футбольных матчей. Пускай мы и можем учитывать среднюю величину преимущества, но нам не следует предполагать, что она остается постоянной для каждой размещаемой ставки. Учитывая то, что на исход спортивных состязаний влияет слишком много различных неопределенных факторов, весьма резонно ожидать изменчивости имеющегося преимущества.

Я выполнил имитационное моделирование по методу Монте-Карло еще для 250 ставок «один к одному». На этот раз, впрочем, вместо того, чтобы фиксировать вероятность выигрыша на уровне 52 % для каждой ставки, я позволил ей изменяться в соответствии с нормальным распределением вероятностей выигрыша. Средняя величина все так же равнялась 52 %, но отдельные значения отклонялись в обе стороны. Некоторые были выше, другие – ниже.

Я применил стандартное отклонение величиной в 5 %: две трети значений попадали в диапазон от 47 % до 57 %, и 95 % значений входили в интервал между 42 % и 62 %. На самом деле, практически треть из них оказались ниже 50 %, и по этой причине они заключали в себе отрицательное математическое ожидание.

Результаты были ошеломительными. Несмотря на то, что треть ставок несла в себе отрицательное математическое ожидание, связанные с размещением ставок по критерию Келли риски остались практически неизменными. Говоря в общем, это означает, что пока вы можете точно представлять величину вашего преимущества в среднем, вам совершенно необязательно знать ее для каждой ставки отдельно.

Критерий Келли 1 – точное преимущество известно для каждой отдельной ставки. Критерий Келли 2 – известно среднее преимущество, но не точное преимущество для каждой ставки.

В попытке проверить робастность этого заключения я провел еще одну симуляцию, в которой доля ставок с отрицательным математическим ожиданием была существенно большей.

Для 230 (или же для 92 %) из 250 ставок вероятность выигрыша была установлена на уровне 49 %, что практически соответствует марже ставок Пиннакл для популярных двух- или трехсторонних рынков. Оставшимся 20 ставкам была присвоена вероятность выигрыша величиной в 86,5 %, что позволило нам сохранить среднюю вероятность выигрыша для 250 ставок неизменной: она все так же составляла 52 %. Результаты нисколько не изменились.

Конечно же, в реальности практически невозможен такой исход, при котором игрок, неспособный получить никакого выигрыша в 92 % своих ставок внезапно каким-то образом обнаружит перспективу получения огромной прибыли в оставшихся 8 %, но проведенное моделирование ситуации, тем не менее, еще раз подтверждает высказанное ранее утверждение: для того чтобы определить размер ставки в соответствии с критерием Келли и эффективно управлять связанными с этим рисками, нам необходимо точно знать только среднюю величину имеющегося преимущества.

Для большинства игроков куда более значимой проблемой является попытка найти хотя бы какое-нибудь преимущество. Слишком уж просто обмануться обычным везением и иллюзорными причинно-следственными связями, которые могут заставить игроков поверить в то, что их навыки находятся на гораздо более лучшем уровне, чем это есть на самом деле. Если вы выиграете в 49 % случаев, разместив ставки «один к одному», то стратегия применения критерия Келли величиной в 4 % начнет подводить вас гораздо чаще (вероятность несения убытков после размещения 250 ставок «один к одному» будет составлять три четверти, в то время, как эта же величина для размещения ставок фиксированного размера будет составлять всего три пятых).

JOSEPH BUCHDAHL