Pinnacle … Что мы можем узнать о ставках благодаря стратегии мартингейла?

Начнем с предупреждения. Каждый раз, когда кто-нибудь положительно отзывается о мартингейле в контексте ставок, правильной реакцией будет сказать, что этот человек ошибается, и прекратить разговор.

Мартингейл — это известный план прогрессивного размещения ставок, который заключается в резком увеличении суммы ставки после проигрыша в надежде отыграться. Я не стану никому рекомендовать такой метод возмещения убытков. Я уже много раз писал об этом (в том числе приводил математическое доказательство несостоятельности этой стратегии) в разделе «Ресурсы для размещения ставок».

Как и в любом плане управления деньгами, где предполагаемое преимущество относительно коэффициентов (положительное или отрицательное) остается неизменным для всех ставок, в рамках этой стратегии невозможно изменить преимущество, меняя размер ставок. Можно только изменить распределение рисков и вознаграждений. В случае мартингейла мы пытаемся получить большое вознаграждение, но с небольшой вероятностью катастрофического исхода — полного банкротства.

Учитывая это, я хочу немного поэкспериментировать со стратегией мартингейла, чтобы показать, как можно использовать ее в контролируемой манере, не рискуя колоссальными убытками. Надеюсь, эта статья наглядно продемонстрирует, что в ставках всегда необходимо поддерживать баланс между риском и вознаграждением. Чем большее вознаграждение вы хотите получить, тем больше придется рисковать.

Как извлечь максимум выгоды из отпуска в Лас-Вегасе

Я давно мечтал посетить казино в Лас-Вегасе. В казино, как вам должно быть известно, предлагаются только игры с отрицательным прогнозируемым исходом. Подсчет карт может дать вам преимущество в блэкджеке, но вас, скорее всего, быстро выпроводят из заведения.

Например, все ставки в рулетке являются проигрышными предложениями, так как они основаны на математических принципах, согласно которым «зеро» дает казино преимущество. Даже если забыть истории о подстроенных рулетках, испытываемых командами игроков десятки тысяч раз, можно предположить, что у вас нет выгодного преимущества.

Учитывая этот факт, мне стало интересно, какой метод может обеспечить максимально продолжительную и интересную игру во время отдыха. Чтобы найти ответ на этот вопрос, я буду рассматривать только ставки «один к одному» на колесе рулетки, включая нечетные, четные, красные и черные позиции.

Как долго можно продержаться с фиксированными ставками?

Простейшая стратегия — фиксированные ставки, которые всегда остаются неизменными. Допустим, мы будем ставить по доллару на каждое вращение рулетки. Чего можно ожидать, поставив на 1000 вращений?

Ожидаемая прибыль соответствует приведенному ниже биномиальному распределению. Синее распределение иллюстрирует диапазон возможных исходов при честных коэффициентах, а в красном распределении также учитывается преимущество казино, составляющее 2,7 % для колеса рулетки с одним «зеро»:

Даже с честным колесом наши шансы существенного выигрыша минимальны. Вероятность выиграть 50 долларов составляет лишь 5,7 %. А если учесть преимущество казино, наши перспективы становятся совсем неутешительными (0,74 %). Конечно, это компенсируется столь же малым риском проиграть 50 долларов. Даже с учетом преимущества казино вероятность проиграть 50 долларов составляет 23 %, а вероятность проиграть 100 долларов — 1 %.

Фиксированные ставки безопасны, но они не принесут значительного дохода. Уверен, что есть более интересный способ провести выходные в Вегасе.

Использование мартингейла и неизбежные убытки

Простейший вариант стратегии мартингейла заключается в удвоении ставки «один к одному» после каждого проигрыша, пока вы не выиграете. Затем восстанавливается исходный размер ставки, и последовательность начинается заново. Опасность использования мартингейла должна быть очевидна всем, но даже для самых самоуверенных игроков серии проигрышей являются неизбежным последствием многократных игр. Чем больше вы играете, то вероятнее продолжительная череда проигрышей.

Приблизительная продолжительность самой длинной череды проигрышей после размещения n ставок рассчитывается как логарифм n с основанием, равным коэффициенту, поделенному на коэффициент минус один. В случае ставок «один к одному» следует ожидать трех проигрышей подряд за восемь ставок, четырех за 16 ставок, пяти за 32 ставки и т. д. В серии из 1000 ставок самая длинная череда проигрышей должна составлять 9–10 ставок. На сайте Pinnacle уже опубликована подробная статья, посвященная сериям проигрышей.

Моделирование исходов мартингейла

Если предположить, что вы располагаете бесконечными средствами или играете в очень щедром казино, где можно поставить любую сумму, ожидаемая прибыль после 1000 вращений рулетки составляет 500 долларов в случае честной рулетки или 486 долларов с учетом преимущества казино от одного «зеро». Конечно, оба этих случая невозможны. Важнее всего, что рано или поздно серия проигрышей приведет либо к полному банкротству, либо к достаточно крупным убыткам, чтобы ваше терпение лопнуло.

Чтобы преодолеть эти ограничения, имеет смысл определить цели, а также установить правила и пределы игры, моделируя вероятность различных исходов, как мы делали с фиксированными ставками. Рассмотрим следующий сценарий:

1. Используя прогрессию мартингейла с начальной ставкой в 1 доллар, мы попытаемся выиграть 500 долларов за 1000 вращений рулетки.
2. Мы ограничим риск банкротства в какой-либо из 1000 игр 50 процентами.
3. Какова максимально допустимая сумма убытков, при которой мы можем продолжить игру с учетом пунктов 1 и 2?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы воспользуемся моделью Монте-Карло. В приведенной ниже таблице представлены результаты моделирования по методу Монте-Карло, проведенного 10 000 раз. В каждой рассмотренной серии из 1000 вращений рулетки, если банкролл становится ниже заданной суммы, игра останавливается и применение стратегии считается неудачным. В противном случае игра продолжается до 1000 вращений рулетки и применение стратегии считается успешным. Предполагается, что мы играем на честной рулетке без «зеро».

Переформулированное предложение ставки

Неудивительно, что чем больше мы готовы проиграть в тот или иной момент серии, тем вероятнее успех в конечном итоге. При пороговой сумме около –300 долларов вероятность выиграть 500 долларов за 1000 вращений рулетки составляет примерно 50 %. В остальной половине случаев ожидается проигрыш на среднюю сумму около 500 долларов. По сути, мы переформулировали предложение ставки: мы рискуем потерять 500 долларов, чтобы выиграть 500 долларов, то есть коэффициент составляет около 2,00 (или 1/1 в пропорции).

Обратите внимание, что эти коэффициенты близки к среднему соотношению выигрышей к проигрышам. По сути, это соотношение является показателем фактического коэффициента. На честной рулетке без «зеро» эти две серии коэффициентов должны быть одинаковыми.

Если же порог составляет –1000 долларов, мы можем позволить себе более продолжительные серии проигрышей. Следовательно, банкротство случается реже, а коэффициент предложения снижается (1,29). Конечно, если вы не хотите рисковать проиграть 1725 долларов, можно просто уменьшить начальный размер ставки в прогрессии. При начальной ставке в 0,29 доллара нам предлагается рискнуть потерять 500 долларов, чтобы выиграть около 145 долларов.

По сравнению с более сдержанной стратегией фиксированных ставок, в этом случае присутствует намного больший риск крупного проигрыша. Но шанс крупного выигрыша также существенно повышается. Вы не проиграете 500 долларов за 1000 ставок по 1 доллару, но и не выиграете 500 долларов. Вероятности обоих исходов бесконечно малы.

Понимание влияния преимущества казино

Если учесть преимущество казино в 2,7 % за счет использования «зеро», ситуация меняется. На приведенной ниже диаграмме сравнивается частота неудач (или банкротства) на рулетках с одним «зеро» и без него. При наличии «зеро» и пороговой сумме –300 долларов мы потерпим неудачу примерно в 58 % случаев.

Чтобы вероятность выигрыша осталась на уровне 50 %, потребуется изменить пороговую сумму допустимых убытков на –440 долларов. В таком случае вы рискуете потерять примерно 670 долларов, чтобы выиграть 486 долларов. Помните, что поскольку ожидаемая частота выигрыша теперь составляет 48,6 %, прогнозируемая прибыль от успешной серии будет составлять примерно 486, а не 500 долларов.

Это соотношение подразумевает коэффициент 1,73, что значительно ниже, чем коэффициент 2,00, рассчитанный по вероятности неудачи. По сути, это иллюстрирует потерю прибыли. Обратите внимание, что этот коэффициент значительно выше, чем маржа казино. Подразумеваемая прибыль равна 1,73 / 2,00, или 0,865. Похоже, за использование мартингейла приходится платить высокую цену.

Ожидаемая прибыль для рулетки со ставками «один к одному» равна 36 к 37, или 0,973. Но что будет, если повторить это для 1000 ставок? При фиксированных ставках вероятность какой-либо прибыли составляет 20 %, а вероятность каких-либо убытков — 80 %. Это можно увидеть, сравнив участки под оранжевой кривой слева и справа от линии нулевой прибыли на приведенной выше биномиальной схеме.

Таким образом, подразумеваемый коэффициент успеха составляет 5,00, а прогнозируемая прибыль равна 2,00 / 5,00 (то есть 0,40) на честной рулетке без «зеро».

По сути, потеря прибыли при использовании такой контролируемой стратегии мартингейла зависит от пороговой суммы проигрыша и предлагаемых коэффициентов. Чем ниже коэффициент предложения (и частота неудач), тем меньше потеря прибыли. При пороговой сумме в –100 долларов коэффициент предложения, подразумеваемый частотой неудач, составляет около 5,00 на рулетке с одним «зеро» и 3,68 на рулетке без «зеро», то есть прибыль равна 0,74.

С другой стороны, при пороговой сумме в –1000 долларов коэффициенты составляют 1,4 и 1,29 соответственно, что подразумевает прибыль 0,92. При пороговой сумме в 10 000 долларов прибыль приближается к 0,99. Это отношение подозрительно напоминает эффект предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров.

Распределение рисков и вознаграждений

Мы можем наглядно показать, как использование такой контролируемой стратегии мартингейла меняет предложение ставок, меняя распределение возможных исходов. На приведенной ниже диаграмме показано распределение для 10 000 испытаний модели Монте-Карло при пороговой сумме –300 долларов на честной рулетке. Как видите, схема четко разделена на участки успеха и неудачи. Сравните этот график с исходным распределением для фиксированных ставок (оно обозначено оранжевым пунктиром).

Что произойдет, если изменить коэффициент?

Хотя мы рассматривали эту контролируемую стратегию мартингейла на примере простых предложений «один к одному», ее можно применить к любым коэффициентам на любом рынке ставок, включая спортивный. Достаточно изменить множитель прогрессии мартингейла. Чтобы определить его, поделите коэффициент на коэффициент минус один. Таким образом, при коэффициенте 3,00 после проигрыша ставка повышается в 1,5 раза. При коэффициенте 1,50 множитель равен трем.

Неудивительно, что чем выше коэффициент, тем больше фактическая сумма, которой придется рискнуть, чтобы переформулировать предложение в виде ставки «один к одному». Естественно, чем выше коэффициент, тем дольше серии проигрышей.

Например, размещая ставки при честном коэффициенте 5,00, вам придется рискнуть потерять 800 долларов, чтобы выиграть 800 долларов. С другой стороны, при коэффициенте 1,50 предлагается рискнуть потерять 333 доллара, чтобы выиграть 333 доллара. Конечно, размер начальной ставки всегда можно изменить с учетом этого, как рассказывалось ранее.

Не повторяйте это дома (или у букмекера)

Эта статья была лишь интересным экспериментом, и я не хочу никому рекомендовать стратегию мартингейла, как и любую другую систему прогрессирующих ставок. Однако эта стратегия послужила очередной иллюстрацией того, что размещение ставок — это игра с риском и вознаграждением, и того, как контроль прибыли и убытков позволяет переформулировать баланс и распределение рисков и вознаграждений.

Что касается отпуска, конечно, вы можете просто поставить 500 долларов в первой и единственной игре, а затем уйти независимо от результата. Но тогда вам придется найти себе какое-нибудь другое занятие в Вегасе.

И наконец, в ставках на спорт, в отличие от казино, существует возможность положительного ожидания. Если вы окажетесь одним из счастливых обладателей этого преимущества, то вам вообще не нужна стратегия мартингейла или какая-либо другая система прогрессирующих ставок. Закон больших чисел постепенно сделает все за вас.

JOSEPH BUCHDAHL