Pinnacle … Какой суммой следует рисковать при размещении ставки?

Математическое ожидание – концепцию, которую первыми изучили французские математики Паскаль и Ферма в 17 столетии, пытаясь решить задачу об очках, – показывает нам, какой средний выигрыш можно ожидать на ставке. Эта концепция тем не менее не говорит о том, какой суммой должен рисковать игрок при размещении ставки. Именно здесь вступает в игру ожидаемая полезность.

Объяснение математического ожидания и ожидаемой полезности

Математическое ожидание (EV) при размещении ставок можно рассчитать путем умножения вероятности выигрыша (p) на сумму, которую можно выиграть на ставке, и вычитания вероятности проигрыша, умноженную на сумму проигрыша на ставке. Поскольку вероятность проигрыша равна 1 (или 100 %) отнять вероятность выигрыша, мы приходим к следующему упрощению:

o – европейские (десятичные) коэффициенты, предоставляемые букмекером. Математическое ожидание является наиболее важным показателем для всех игроков, на основании которого можно спрогнозировать вероятность выигрыша или проигрыша в перспективе.

Как только игрок определил математическое ожидание, он должен решить, какую сумму стоить поставить. Известный математик 18столетия Даниил Бернулли пришел к выводу о том, что только авантюристы принимают решение о сумме риска, исходя из объективного математического ожидания без учета субъективных последствий от ставки, то есть желательности того, сколько должно быть выиграно (или проиграно). Эта субъективная желательность известна как полезность.

Полезность в условиях неопределенности

Вам на выбор представляется два сундука. В первом лежит 10 000 долл. США наличными. Во втором лежит либо 20 000 долл. США, либо ничего. Мы не уверены, в каком именно, но оба варианта имеют равную вероятность. Теперь вам необходимо выбрать один из сундуков. Какой из них вы выберете?

Это классическая задача на определение полезности. Математически оба эти сундука имеют одинаковое математическое ожидание, то есть 10 000 долл. США. Если бы вы могли повторять эту игру снова и снова без остановки, выбор того или иного сундука совершенно не имел бы значения. Тем не менее в эту игру можно сыграть только один раз. Закон больших чисел не применяется.

Если вы выберете первый сундук, вы определенно получите 10 000 долл. США. Если вы выберете второй, то содержимое сундука будет подвластно случаю: если повезет, вы станете на 20 000 долл. США богаче, не повезет – и вы останетесь ни с чем. Учитывая такие суммы денег неудивительно, что большинство людей предпочтет абсолютно надежный первый вариант.

С точки зрения полезности полная уверенность в выигрыше 10 000 долл. США, безусловно, намного лучше, чем риск остаться ни с чем. Люди, которые при одинаковом математическом ожидании предпочитают определенность, а не риск, демонстрируют неприятие риска.

Как рассчитать оптимальную сумму ставки?

Даниил Бернулли пришел к выводу о том, что обычное рациональное поведение людей при принятии решения в условиях неопределенности является неприятием риска. Он количественно выразил свою гипотезу таким образом: «Польза от небольшого прироста богатства обратно пропорциональна величине уже имеющегося богатства». Другими словами, чем вы богаче, тем меньше пользы вы будете видеть в получении большего. Такая функция полезности является логарифмической и более широко известна, как убывающая предельная полезность богатства.

Одним из наиболее практических применений теории Даниила Бернулли является управление денежными средствами, которое известно многим игрокам как критерий Келли. Разработанный Джоном Келли во время работы в лабораториях AT&T’s Bell Labs в 1956 году при решении задачи, касающейся шумов в телефонной линии дальней связи, критерий был быстро взят на вооружение любителями азартных игр и инвесторами как средство оптимизации стратегии управления денежными средствами и роста прибыли.

И хотя мотивация Келли полностью отличалась от мотивации Бернулли, его критерий был математически эквивалентен логарифмической функции полезности. Этот критерий фактически предписывает игроку рисковать процентом от имеющейся суммы при размещении ставки, который одновременно прямо пропорционален математической зависимости (EV) и обратно пропорционален вероятности успеха.

Помня о том, что EV = po – 1 (где «p» – это истинная вероятность успеха, а «o» – десятичный коэффициент на ставку), мы можем рассчитать процент ставки по Келли (K) следующим образом:

В сущности критерий Келли максимизирует ожидаемую логарифмическую полезность. Одной из особенностей размещения ставок с помощью критерия Келли является значительная изменчивость прибыли, что приемлемо не для каждого игрока с точки зрения полезности. Кроме того, использование этого критерия требует точных оценок истинной вероятности результата.

Тем не менее подход Келли технически позволяет успешным игрокам максимально увеличить размер своего банкролла в перспективе. Конечно, для этого игроку необходим букмекер, который не будет проявлять подозрительность к специальным стратегиям управления денежными средствами, например стратегии Келли, и, что более важно, не будет ограничивать ставки вследствие победы. Именно по этой причине компания Pinnacle имеет непревзойденную репутацию.

ДЖОЗЕФ БУХДАЛЬ