Pinnacle … Использование метода Монте-Карло для анализа ставок

Метод Монте-Карло основан на формировании выборки случайных величин посредством многократного отбора с целью получения числовых значений и используется в тех случаях, когда применение других математических подходов сопряжено с большим количеством трудностей. Он особенно полезен тем делающим ставки игрокам, которые в меньшей степени осведомлены о традиционных методах статистического тестирования, поскольку не требует обширных математических знаний.

Доминик Кортис уже рассматривал вопрос применения этого метода дляпрогнозирования спортивных результатов на конкретном примере Чемпионата мира по автогонкам в классе Формула-1. В этой статье я собираюсь использовать его для изучения зависимости эффективности ставок от фактора везения.

Анализ эффективности ставок

История ставок из моей методологии Wisdom of Crowds (Коллективный разум), которая будет использоваться в этой статье, содержит данные о 1521 ставке одинакового размера с прибылью от оборота 0,76 %. Но как понять, является ли это оправданной закономерностью или же результатом влияния удачи или невезения?

Первый шаг предполагает сравнение этой величины со значением математического ожидания. Концепция используемой методологии предполагает оценку «чистого» коэффициента каждой ставки и, следовательно, величины ценностного ожидания. Например, опубликованное значение 2,10 при «чистом» коэффициенте 2,00 содержит ценностное ожидание 5 % или 1,05 (рассчитанное путем деления 2,10 / 2,00).

«Чистый» коэффициент 2,00 предполагает вероятность выигрыша 50 %. Если сделать 100 ставок, 50 из которых будут выигрышными (прибыль по каждой ставке 1,10 евро), а 50 – проигрышными (убыток по каждой ставке –1 евро), то размер чистой прибыли составит 5 долл. США (или 5 % от оборота в 100 евро). Аналогичным образом, опубликованное значение 3,50 при «чистом» коэффициенте 3,00 будет содержать ценностное ожидание 16,67 %. В приведенной ниже таблице представлены данные прогнозирования, полученные с помощью моей системы ставок.

* Коэффициенты Pinnacle без учета маржи

Определить общее ценностное ожидание и размер ожидаемой прибыли для полной истории ставок достаточно просто, поскольку нужно просто вычислить среднее значение. Для истории из 1521 ставки оно было равно 4,04 %, и это указывает на то, что если бы использованная система ставок функционировала точно так, как прогнозировалось, ожидаемая прибыль по ставкам на сумму 1521 евро составляла бы 61,45 евро.

В действительности же доход для этой истории ставок был равен 11,61 евро. По-видимому, такой низкий результат объясняется невезением (при условии, конечно, что использованная модель прогнозирования функционировала должным образом). Вопрос заключается в том, насколько сильна эта зависимость? Для поиска ответа на этот вопрос можно воспользоваться методом Монте-Карло.

Выполнение моделирования по методу Монте-Карло с помощью Excel

Выполнить моделирование по методу Монте-Карло с помощью такой программы, как Excel, достаточно просто.

1. Рассчитайте ожидаемую вероятность выигрыша для каждой ставки, выраженную в виде десятичной цифры от нуля до единицы. Эта величина является обратной значению «чистого» коэффициента.
2. Используйте функцию RAND в Excel для вывода случайного числа от нуля до единицы для каждой ставки. Для того чтобы с помощью Excel определить, принесет ли ставка в моделировании прибыль или убыток, необходимо просто выяснить, является ли случайное число, связанное со ставкой, меньше величины ожидаемой вероятности выигрыша. Если это так, прибыль по ставкам одинакового размера приравнивается к коэффициенту 1. Если нет, убыток по ставкам одинакового размера приравнивается к коэффициенту –1.
3. Суммируйте прибыли и убытки по всем ставкам в моделировании для вычисления доходности. При размещении ставок одинакового размера просто разделите сумму прибыли на количество ставок
4. Используйте функцию таблицы данных в Excel и обновите случайные числа для определенного количества моделирований.

Ниже показаны первые два шага для сделанных мной ставок.

Нажатие клавиши F9 позволяет выполнить перерасчет всех случайных чисел для совершенно нового моделирования и вычисления теоретической доходности новой выборки. Размер доходности можно фиксировать вручную каждый раз при запуске нового моделирования, но если мы хотим повторять процесс сотни или тысячи раз, для этого потребуются большие затраты времени и усилий.

К счастью, в Excel предусмотрен быстрый и простой способ выполнения множества моделирований за один раз с помощью функции таблицы данных. Для доступа к ней перейдите в Данные > Анализ «что-если» > Таблица данных.

1. Вычислите доходность своей выборки в любой свободной ячейке Excel, как описано в шаге три выше.
2. Затем выделите несколько ячеек, которые вы хотите заполнить значениями доходности для новых моделирований, включая один столбец слева.

1. После этого вызовите таблицу данных в Excel. Отобразится окно, подобное приведенному ниже. В ячейке ввода столбца просто введите ссылку на одну ячейку. Это может быть любая ячейка при условии, что она не является одной из тех ячеек, которые были выделены ранее.
2. Нажмите ОК и посмотрите, как Excel творит свою магию. Ячейки, выделенные ниже первой, будут заполнены новыми вычисленными значениями доходности, каждое из которых представляет собой одно моделирование. В рамках этого примера было выполнено шесть моделирований, как показано ниже.

Измерение влияния удачи на результаты ставок

Доктор Джерард Вершурен создал очень полезный обучающий видеоролик на YouTube, в котором этот процесс описан более подробно. Можно выполнить столько моделирований, сколько мы захотим, хотя чем больше их количество, тем больше времени займут вычисления в Excel. Для целей этой статьи было выполнено 100 000 моделирований (что заняло около пяти минут).

Средняя доходность составила 4,05 %, что почти совпадает с величиной ценностного ожидания моей истории ставок. Однако наблюдается широкий разброс значений от –12,23 % (самый низкий показатель эффективности) до 23,26 % (самый высокий показатель).

Действительно, убыточными оказались почти 17 % моделирований, хотя величина теоретического ценностного ожидания для использованной истории ставок превышала 4 %, в то время как доходность могла быть выше фактического показателя 0,76 % в 78 % случаев.

Фактически, используя эти данные, мы могли бы вычислить вероятность достижения какого-либо определенного порогового значения доходности в Excel без необходимости в проведении каких-либо статистических тестирований. Метод Монте-Карло позволяет сделать все это с минимумом усилий с нашей стороны. Полное распределение 100 000 результатов моделирования доходности приведено в таблице ниже (с шагом 0,1 % по оси X). Тот, кто имеет представление о нормальном распределении, может увидеть, что это совпадение почти идеальное.

Конечно, если бы фактический размер доходности был равен, скажем, –5 % или ниже (что возможно только в 1 % случаев), можно было бы задуматься о несовершенстве использованной системы ставок. Таким образом, метод Монте-Карло является полезным инструментом для проведения таких субъективных оценок.

Несовершенная система ставок или невезение

Еще один важный момент, который можно вынести из этого эксперимента, касается влияния невезения на результаты игроков с положительным ожиданием и довольно значительными историями ставок. Использованная в этой статье история ставок включала более 1500 ставок с прогнозируемым математическим ожиданием свыше 4 %. Несмотря на это преимущество, результаты моделирований по методу Монте-Карло продемонстрировали, что проигрыш возможен более чем в одном случае из пяти.

Если бы ваша стратегия ставок содержала похожее преимущество, как бы вы повели себя, сделав 1500 ставок, которые ничего бы вам не принесли? Сохранили бы уверенность в своей методологии, списали бы низкие результаты на невезение или потеряли бы веру в свой подход?

Один из способов, который может помочь в решении этой дилеммы, предполагает увеличение размера выборки. Опять же, для того чтобы понять, как меняется общая картина при увеличении размера истории ставок, можно обратиться к методу Монте-Карло. В рамках мысленного эксперимента первоначальное количество ставок (1521) было увеличено в десять раз (путем простого воспроизведения исходной выборки коэффициентов ставок еще девять раз). Дополнительное моделирование, проведенное 100 000 раз, позволило получить приведенные далее значения доходности.

• Среднее значение доходности = 4,04 %
• Наименьшее значение доходности = –1,21 %
• Наибольшее значение доходности = 10,17 %
• Вероятность доходности < 0 % = 0,1 %
• Вероятность доходности > 0,76 % = 99,3 %

Ниже представлено новое распределение, которое было получено после выполнения 100 000 моделирований, наложенное на исходное распределение для первоначальной выборки из 1521 ставки.

Очевидная разница между двумя выборками – это размер спреда или диапазона возможных значений доходности, который намного уже в случае с большей историей ставок. Такой результат вполне предсказуем и является просто следствием закона больших чисел.

Оценка результатов моделирования по методу Монте-Карло

Чем больше история ставок, тем вероятнее, что фактическая эффективность будет ближе к ожидаемой – конечно, при условии, что методология прогнозирования функционирует должным образом. Напрашивающийся вывод состоит в том, что если после более 15 000 ставок доходность будет оставаться на отметке 0,76 % или ниже, это утверждение следует поставить под сомнение.

В конечном счете, метод Монте-Карло не позволит вам точно понять, какие факторы, не считая везения, определяют результативность вашей системы ставок. Тем не менее это действительно полезный инструмент, который поможет в формировании обоснованных суждений в этом отношении, а также даст вам возможность оценить диапазон обоснованно ожидаемых исходов, возможных в пределах действия удачи и невезения.

JOSEPH BUCHDAHL